metrów. Oblicz na jakiej wysokości drabina jest oparta o ścianę. Zadania egzaminacyjne Zad. 1 Dzień 6 Przekątna kwadratu, wysokość trójkąta równobocznego. Odcinki w układzie współrzędnych. Zadania powtórzeniowe: 1. Oblicz wysokość trójkąta równobocznego o boku: a) 4 cm b) cm 2.
Potęgowanie Potęga to uogólniony zapis wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Zapis xⁿ oznacza n-krotne mnożenie przez siebie x. xⁿ = x • x • x • … • x, gdzie n = ilość x Potęgowany element (n) nazywamy podstawą, a liczba mnożeń, zapisywana u góry (w tzw. indeksie górnym) to wykładnik potęgi. Przykład: 4³ = 4 • 4 • 4 = 64 x° = 1 gdy x ≠ 0 Przykład: 8° = 1 X¹ = X Przykład: 2¹ = 2 Druga potęga to kwadrat danej liczby (x²), trzecia to sześcian (x³). Przykład: gdy x ≠ 0 Przykład: Przykład: (x + y)ⁿ = xⁿ • yⁿ Przykład: (6 • 2)² = 6² • 2² = 36 • 4 = 144 jeśli y ≠ 0 Przykład: gdy x ≠ 0 Przykład: . Pierwiastkowanie Pierwiastkowanie to działanie odwrotne do potęgowania. Symbolem pierwiastka jest .Pierwiastkiem stopnia n liczby a jest liczba b. Zapisujemy to w ten sposób: a – liczba podpierwiastkowa n – stopień pierwiastka (jeśli pierwiastek jest kwadratowy to pole jest puste) b – pierwiastek n-tego stopnia z a (czyli wynik pierwiastkowania) Pierwiastkiem liczby 1 jest liczba 1, bo 1 • 1 = 1 Pierwiastkiem liczby 4 jest liczba 2, bo 2 • 2 = 4 Pierwiastkiem liczby 9 jest liczba 3, bo 3 • 3 = 9 Pierwiastkiem liczby 16 jest liczba 4, bo 4 • 4 = 16 Pierwiastkiem liczby 25 jest liczba 5, bo 5 • 5 = 25 Pierwiastkiem liczby 36 jest liczba 6, bo 6 • 6= 36 ...itd. Zapisujemy to w ten sposób: = 1, bo 12 = 1 = 2, bo 22 = 4 = 3, bo 32 = 9 = 4, bo 42 = 16 = 5, bo 52 = 25 = 6, bo 62 = 36 ...itd. Pamiętajmy, że , ponieważ 00 to symbol nieoznaczony. Własności (prawa działań na pierwiastkach) Pierwiastek stopnia drugiego (n = 2) to pierwiastek kwadratowy. Pierwiastek stopnia trzeciego (n = 3) to pierwiastek sześcienny. Zapisujemy go tak: . Pierwiastek czwartego stopnia (n = 4) zapisujemy: .

Dzieląc potęgi zazwyczaj korzystamy z poniższych wzorów: Wzór na dzielenie potęg o jednakowych podstawach: a m: a n = a m-n. Przykład: 6 5 – 6 2 = 6 3. Wzór na dzielenie potęg o jednakowych wykładnikach:

Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n-tą potęgę: Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia n z liczby nazywamy liczbę taką, że . W szczególności, dla dowolnej liczby a zachodzi równość: . Jeżeli oraz liczba n jest nieparzysta, to oznacza liczbę taką, że . Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją. Niech m, n będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy: Niech r, s będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli i , to zachodzą równości: Jeżeli wykładniki r, s są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb .Fragment pochodzi z opracowania "Wybrane wzory matematyczne" 2005, Centralna Komisja Egzaminacyjna, Egzamin maturalny z matematyki, Matura 2005 Powiązane hasła Pierwiastki - opis. Pierwiastkowanie to działanie odwrotne do potęgowania. Wynikiem pierwiastkowania, jak i liczba podpierwiastkowa, jest zawsze liczbą dodatnią. Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej x jest to taka liczba nieujemna y, która podniesiona do potęgi drugiej daje liczbę podpierwiastkową x. \ ( { \sqrt {x} } =y \) bo y 2 Spis treści 1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY 2. POTĘGI I PIERWIASTKI 3. LOGARYTMY 4. SILNIA. WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY 5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA 6. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA 7. CIĄGI • Ciąg arytmetyczny • Ciąg geometryczny • Procent składany 8. FUNKCJA KWADRATOWA • Wzory Viéte’a 9. GEOMETRIA ANALITYCZNA • Odcinek • Wektory • Prosta • Prosta i punkt • Para prostych • Trójkąt • Przekształcenia geometryczne • Równanie okręgu 10. PLANIMETRIA • Cechy przystawania trójkątów • Cechy podobieństwa trójkątów • Twierdzenie sinusów • Twierdzenie cosinusów • Wzory na pole trójkąta • Twierdzenie Pitagorasa • Związki miarowe w trójkącie prostokątnym • Trójkąt równoboczny • Twierdzenie Talesa • Czworokąty • Koło • Wycinek koła • Kąty w okręgu • Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą • Twierdzenie o odcinkach stycznych • Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej • Okrąg opisany na czworokącie • Okrąg wpisany w czworokąt 11. STEREOMETRIA • Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych • Prostopadłościan • Graniastosłup prosty • Ostrosłup • Walec • Stożek • Kula 12. TRYGONOMETRIA • Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym • Definicje funkcji trygonometrycznych • Wykresy funkcji trygonometrycznych • Związki między funkcjami tego samego kąta • Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych • Funkcje sumy i różnicy kątów • Funkcje podwojonego kąta • Sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych • Wybrane wzory redukcyjne • Okresowość funkcji trygonometrycznych 13. KOMBINATORYKA • Wariacje z powtórzeniami • Wariacje bez powtórzeń • Permutacje • Kombinacje 14. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA • Własności prawdopodobieństwa • Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa • Prawdopodobieństwo warunkowe • Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym 15. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH • Średnia arytmetyczna • Średnia ważona • Średnia geometryczna • Mediana • Wariancja i odchylenie standardowe 16. GRANICA CIĄGU • Granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów • Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego 17. POCHODNA FUNKCJI • Pochodna sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji • Pochodne niektórych funkcji • Równanie stycznej 18. TABLICA WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH ⇑1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem:Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu x od punktu dowolnej liczby x mamy:|x| ≥ 0|x| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0|–x| = |x|Dla dowolnych liczb x, y mamy:|x + y| ≤ |x| + |y||x – y| ≤ |x| + |y||x · y| = |x| · |y|Ponadto, jeśli y ≠ 0 , toDla dowolnych liczb a oraz r ≥ 0 mamy:|x – a| ≤ r wtedy i tylko wtedy, gdy a – r ≤ x ≤ a + r|x – a| ≥ r wtedy i tylko wtedy, gdy x ≤ a – r lub x ≥ a + r⇑2. POTĘGI I PIERWIASTKINiech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n-tą potęgę:Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia n z liczby a ≥ 0 nazywamy liczbę b ≥ 0 taką, że bn = a. W szczególności, dla dowolnej liczby a zachodzi równość:Jeżeli a 0 i b > 0, to zachodzą równości:Jeżeli wykładniki r, s są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb a ≠ 0 i b ≠ 0.⇑3. LOGARYTMYLogarytmem logac dodatniej liczby c przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a nazywamy wykładnik b potęgi, do której należy podnieść a, aby otrzymać c:logac = b wtedy i tylko wtedy, gdy ab = c Równoważnie:alogac = cDla dowolnych liczb x > 0 , y > 0 oraz r zachodzą wzory:Wzór na zamianę podstawy logarytmu:jeżeli a > 0 , a ≠ 1 , b > 0, b ≠ 1 oraz c > 0, toLogarytm log10x można też zapisać jako log x lub lg x.⇑4. SILNIA. WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWYSilnią liczby całkowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od 1 do n włącznie:n! = 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ nPonadto przyjmujemy umowę, że 0! = dowolnej liczby całkowitej n ≥ 0 zachodzi związek:(n + 1)! = n! ⋅ (n + 1)Dla liczb całkowitych n, k spełniających warunki0 ≤ k ≤ ndefiniujemy współczynnik dwumianowy Zachodzą równości:⇑5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONADla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a, b mamy:⇑6. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIADla dowolnych liczb a, b:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2(a – b)2 = a2 – 2ab + b2(a + b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a, b zachodzi wzór:an – bn = (a – b)(an–1 + an–2b + ... + an–kbk–1 + ... + abn–2 + bn–1W szczególności:a2 – b2 = (a – b)(a + b)a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)a2 – 1 = (a – 1)(a + 1)a3 – 1 = (a – 1)(a2 + a + 1)a3 + 1 = (a + 1)(a2 – a + 1)an – 1 = (a – 1)(an–1 + an–2 + ... + a + 1)⇑7. CIĄGI⇑• Ciąg arytmetycznyWzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego (an) o pierwszym wyrazie a1 i różnicy r: an = a1 + (n − 1) rWzór na sumę Sn = a1 + a2 + ... + an początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego:Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek:⇑• Ciąg geometrycznyWzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego (an) o pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q:an = a1 ⋅ qn − 1 dla n ≥ 2Wzór na sumę Sn = a1 + a2 + ... + an początkowych n wyrazów ciągu geometrycznego:Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek:⇑• Procent składanyJeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi p% w skali rocznej i kapitalizacja odsetek następuje po upływie każdego roku trwania lokaty, to kapitał końcowy Kn wyraża się wzorem:⇑8. FUNKCJA KWADRATOWAPostać ogólna funkcji kwadratowej:Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej:Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych (p,q). Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy a > 0 ; do dołu, gdy a 0, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste):Jeśli ∆ ≥ 0 , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej:⇑• Wzory Viéte’aJeśli ∆ ≥ 0 , to ⇑9. GEOMETRIA ANALITYCZNA⇑• OdcinekDługość odcinka o końcach w punktachjest dana wzorem:Współrzędne środka odcinka AB:⇑• WektoryWspółrzędne wektora :Jeżeli są wektorami, zaś a jest liczbą, to⇑• ProstaRównanie ogólne prostej:Ax + By + C = 0,gdzie A2 + B2 ≠ 0 (tj. współczynniki A, B nie są równocześnie równe 0).Jeżeli A = 0, to prosta jest równoległa do osi Ox; jeżeli B = 0, to prosta jest równoległa do osi Oy;jeżeli C = 0, to prosta przechodzi przez początek układu prosta nie jest równoległa do osi Oy, to ma ona równanie kierunkowe:y = ax + bLiczba a to współczynnik kierunkowy prostej:a = tg αWspółczynnik b wyznacza na osi Oy punkt, w którym dana prosta ją kierunkowe prostej o współczynniku kierunkowym a, która przechodzi przez punkt P = (x0,y0):y = a(x − x0) + y0Równanie prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty A = (xA,yA), B = (xB,yB) ⇑• Prosta i punktOdległość punktu P = (x0,y0) od prostej o równaniu Ax + By + C = 0 jest dana wzorem:⇑• Para prostychDwie proste o równaniach kierunkowych:spełniają jeden z następujących warunków:– są równoległe, gdy a1 = a2– są prostopadłe, gdy a1a2 = − 1– tworzą kąt ostry φ i Dwie proste o równaniach ogólnych:A1x + B1y + C1 = 0A2x + B2y + C2 = 0– są równoległe, gdy A1B2 − A2B1 = 0– są prostopadłe, gdy A1A2 + B1B2 = 0– tworzą kąt ostry φ i ⇑• TrójkątPole trójkąta ABC o wierzchołkachjest dane wzorem:Środek ciężkości trójkąta ABC, czyli punkt przecięcia jego środkowych, ma współrzędne:⇑• Przekształcenia geometryczne– przesunięcie o wektor przekształca punkt A = (x,y) na punkt A'= (x + a,y + b)– symetria względem osi Ox przekształca punkt A = (x,y) na punkt A' = (x,−y)– symetria względem osi Oy przekształca punkt A = (x,y) na punkt A' = (−x,y)– symetria względem punktu (a,b) przekształca punkt A = (x,y) na punkt A' = (2a − x,2b − y)– jednokładność o środku w punkcie O i skali s ≠ 0 przekształca punkt A na punkt A' taki, że a więc, jeśli O = (x0,y0) , to jednokładność ta przekształca punkt A = (x,y) na punkt ⇑• Równanie okręguRównanie okręgu o środku w punkcie S = (a,b) i promieniu r > 0:lub⇑10. PLANIMETRIA⇑• Cechy przystawania trójkątówTo, że dwa trójkąty ABC i DEF są przystające (∆ABC ≡ ∆DEF) , możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech przystawania trójkątów:– cecha przystawania „bok – bok – bok”:odpowiadające sobie boki obu trójkątów mają te same długości:– cecha przystawania „bok – kąt – bok”:dwa boki jednego trójkąta są równe odpowiadającym im bokom drugiego trójkąta oraz kąt zawarty między tymi bokami jednego trójkąta ma taką samą miarę jak odpowiadający mu kąt drugiego trójkąta, np.– cecha przystawania „kąt – bok – kąt”:jeden bok jednego trójkąta ma tę samą długość, co odpowiadający mu bok drugiego trójkąta oraz miary odpowiadających sobie kątów obu trójkątów, przyległych do boku, są równe, np.⇑• Cechy podobieństwa trójkątówTo, że dwa trójkąty ABC i DEF są podobne (∆ABC ~ ∆DEF) , możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech podobieństwa trójkątów:– cecha podobieństwa „bok – bok – bok”:długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości boków drugiego trójkąta, np.– cecha podobieństwa „bok – kąt – bok”:długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków drugiego trójkąta i kąty między tymi parami boków są przystające, np.– cecha podobieństwa „kąt – kąt – kąt”:dwa kąty jednego trójkąta są przystające do odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta (więc też i trzecie kąty obu trójkątów są przystające:Przyjmujemy oznaczenia w trójkącie ABC:a, b, c – długości boków, leżących odpowiednio naprzeciwko wierzchołków A, B, C2p=a+b+c – obwód trójkątaα, β, γ – miary kątów przy wierzchołkach A, B, Cha, hb, hc – wysokości opuszczone z wierzchołków A, B, CR, r – promienie okręgów opisanego i wpisanego⇑• Twierdzenie sinusów⇑• Twierdzenie cosinusówa2 = b2 + c2 – 2bc cosαb2 = a2 + c2 – 2ac cosβc2 = a2 + b2 – 2ab cosγ⇑• Wzory na pole trójkąta⇑• Twierdzenie Pitagorasa(wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)W trójkącie ABC kąt γ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy a2 + b2 = c2⇑• Związki miarowe w trójkącie prostokątnymZałóżmy, że kąt γ jest prosty. Wówczas:⇑• Trójkąt równoboczny ⇑• Twierdzenie Talesa(wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)Różne proste AC i BD przecinają się w punkcie P, przy czym spełniony jest jeden z warunków:– punkt A leży wewnątrz odcinka PC oraz punkt B leży wewnątrz odcinka PDlub– punkt A leży na zewnątrz odcinka PC oraz punkt B leży na zewnątrz odcinka proste AB i CD są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy⇑• CzworokątyTrapezCzworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków na pole trapezu:RównoległobokCzworokąt, który ma dwie pary boków na pole równoległoboku:RombCzworokąt, który ma wszystkie boki jednakowej na pole rombu:DeltoidCzworokąt wypukły, który ma oś symetrii zawierającą jedną z na pole deltoidu:⇑• KołoWzór na pole koła o promieniu r:P = πr2Obwód koła o promieniu r:L = 2πr⇑• Wycinek kołaWzór na pole wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym αwyrażonym w stopniach:Długość łuku AB wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α wyrażonym w stopniach:⇑• Kąty w okręgu Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym kątów wpisanych w okrąg, opartych na tym samym łuku, są kątów wpisanych w okrąg, opartych na łukach równych, są równe.⇑• Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwąDany jest okrąg o środku w punkcie O i jego cięciwa AB. Prosta AC jest styczna do tego okręgu w punkcie A. Wtedy |∢AOB| = 2 ⋅ |∢CAB|, przy czym wybieramy ten z kątów środkowych AOB, który jest oparty na łuku znajdującym się wewnątrz kąta CAB.⇑• Twierdzenie o odcinkach stycznychJeżeli styczne do okręgu w punktach A i B przecinają się w punkcie P, to|PA| = |PB|⇑• Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznejDane są: prosta przecinająca okrąg w punktach A i B oraz prosta styczna do tego okręgu w punkcie C. Jeżeli proste te przecinają się w punkcie P, to|PA| ⋅ |PB| = |PC|2⇑• Okrąg opisany na czworokącieNa czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe 180°:α + γ = β + δ = 180°⇑• Okrąg wpisany w czworokątW czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe:a + c = b + d⇑11. STEREOMETRIA⇑• Twierdzenie o trzech prostych prostopadłychProsta k przebija płaszczyznę w punkcie P. Prosta l jest rzutem prostokątnym prostej k na tę m leży na tej płaszczyźnie i przechodzi przez punkt prosta m jest prostopadła do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej oznaczenia:P – pole powierzchni całkowitejPp – pole podstawyPb – pole powierzchni bocznejV – objętość⇑• ProstopadłościanP = 2(ab + bc + ac)V = abcgdzie a, b, c są długościami krawędzi prostopadłościanu⇑• Graniastosłup prostyPb = 2p ⋅ hV = Pp ⋅ hgdzie 2p jest obwodem podstawy graniastosłupa⇑• OstrosłupV = 1⁄3 Pp ⋅ hgdzie h jest wysokością ostrosłupa⇑• WalecPb = 2πrhP = 2πr(r + h)V = πr2hgdzie r jest promieniem podstawy, h – wysokością walca⇑• StożekPb = πrlP = πr(r + l)V = 1⁄3 πr2hgdzie r jest promieniem podstawy, h – wysokością, l – długością tworzącej stożka⇑• KulaP = 4πr2V = 4⁄3 πr3 gdzie r jest promieniem kuli⇑12. TRYGONOMETRIA⇑• Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym⇑• Definicje funkcji trygonometrycznychpromieniem wodzącym punktu M⇑• Wykresy funkcji trygonometrycznych⇑• Związki między funkcjami tego samego kątadlak - całkowite⇑• Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych⇑• Funkcje sumy i różnicy kątówDla dowolnych kątów α, β zachodzą równości:sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin βsin (α – β) = sin α cos β – cos α sin βcos (α + β) = cos α cos β – sin α sin βcos (α – β) = cos α cos β + sin α sin βPonadto mamy równości:które zachodzą zawsze, gdy są określone i mianownik prawej strony nie jest zerem.⇑• Funkcje podwojonego kątasin 2α = 2sinα cosαcos 2α = cos2 α – sin2 α = 2cos2 α – 1 = 1 – 2 sin2 α⇑• Sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznychsin α sin β = – ½ (cos (α + β) – cos (α – β))cos α cos β = ½ (cos (α + β) + cos (α – β))sin α cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α – β))⇑• Wybrane wzory redukcyjnesin (90° – α) = cos αsin (90° + α) = cosαsin (180° – α) = sin αsin (180° + α) = – sin αcos (90° – α) = sin αcos (90° + α) = – sin αcos (180° – α) = – cos αcos (180° + α) = – cos αtg (180° – α) = – tg αtg (180° + α) = tg α⇑• Okresowość funkcji trygonometrycznychsin (α + k⋅360°) = sin αcos (α + k⋅360°) = cos αtg (α + k⋅180°) = tg αk – całkowite⇑13. KOMBINATORYKA⇑• Wariacje z powtórzeniamiLiczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa nk.⇑• Wariacje bez powtórzeńLiczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k (1 ≤ k ≤ n) różnych wyrazów, jest równa⇑• PermutacjeLiczba sposobów, na które n (n ≥ 1) różnych elementów można ustawić w ciąg, jest równa n!.⇑• KombinacjeLiczba sposobów, na które spośród n różnych elementów można wybrać k (0 ≤ k ≤ n) elementów, jest równa ⇑14. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA⇑• Własności prawdopodobieństwa0 ≤ P(A) ≤ 1dla każdego zdarzenia A ⊂ ΩP(Ω) = 1Ω - zdarzenie pewneP(Ø) = 0Ø - zdarzenie niemożliwe (pusty podzbiór Ω)P(A) ≤ P(B)gdy A ⊂ B ⊂ ΩP(A') = 1 – P(A)gdzie A' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia AP(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ ΩP(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω⇑• Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobieństwaNiech Ω będzie skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A ⊂ Ω jest równegdzie |A| oznacza liczbę elementów zbioru A, zaś |Ω| – liczbę elementów zbioru Ω.⇑• Prawdopodobieństwo warunkoweNiech A, B będą zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω, przy czym P(B) > 0. Prawdopodobieństwem warunkowym P(A | B) nazywamy liczbę⇑• Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitymJeżeli zdarzenia losowe B1, B2, ..., Bn zawarte w Ω spełniają warunki:1. B1, B2, ..., Bn są parami rozłączne, tzn. Bi ∩ Bj = ∅ dla i ≠ j,1 ≤ i ≤ n1 ≤ j ≤ n2. B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = Ω3. P(Bi) > 0 dla 1 ≤ i ≤ nto dla każdego zdarzenia losowego A zawartego w Ω zachodzi równośćP(A) = P(A | B1) ⋅ P(B1) + P(A | B2) ⋅ P(B2) + ... + P(A | Bn) ⋅ P(Bn)⇑15. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH⇑• Średnia arytmetycznaŚrednia arytmetyczna n liczb a1 , a2 , ..., an jest równa: ⇑• Średnia ważonaŚrednia ważona n liczb a1 , a2 , ..., an , którym przypisano dodatnie wagi – odpowiednio: w1 , w2 , ..., wn jest równa:⇑• Średnia geometrycznaŚrednia geometryczna n nieujemnych liczb a1 , a2 , ..., an jest równa:⇑• MedianaMedianą uporządkowanego w kolejności niemalejącej zbioru n danych liczbowych a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an jest:– dla n nieparzystych: (środkowy wyraz ciągu)– dla n parzystych: (średnia arytmetyczna środkowych wyrazów ciągu)⇑• Wariancja i odchylenie standardoweWariancją n danych liczbowych a1 , a2 , ..., an o średniej arytmetycznej jest liczba:Odchylenie standardowe σ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji. ⇑16. GRANICA CIĄGU⇑• Granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągówDane są ciągi (an) i (bn), określone dla n ≥ ponadto bn ≠ 0 dla n ≥ 1 oraz b ≠ 0, to⇑• Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznegoDany jest nieskończony ciąg geometryczny (an), określony dla n ≥ 1, o ilorazie q. Niech (Sn) oznacza ciąg sum początkowych wyrazów ciągu (an), to znaczy ciąg określony wzoremSn = a1 + a2 + ... + andla n ≥ |q| < 1, to ciąg (Sn) ma granicęTę granicę nazywamy sumą wszystkich wyrazów ciągu (an).⇑17. POCHODNA FUNKCJI⇑• Pochodna sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji⇑• Pochodne niektórych funkcjiNiech a, b, c będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, n dowolną liczbą całkowitą.⇑• Równanie stycznejJeżeli funkcja ƒ ma pochodną w punkcie x0, to równanie stycznej do wykresu funkcji ƒ w punkcie (x0, ƒ(x0)) dane jest wzoremy = ax + bgdzie współczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pochodnej funkcji ƒ w punkcie x0, to znaczy a = ƒ′(x0), natomiast b = ƒ(x0) – ƒ′(x0) ⋅ x0. Równanie stycznej możemy zapisać w postaciy = ƒ′(x0) ⋅ (x – x0) + ƒ(x0)⇑18. TABLICA WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
Wykonaj potęgowanie. 2 6 =. ANANAS ZA 10 POPRAWNYCH ODPOWIEDZI. 0 BŁĘDÓW: 0 POPRAWNYCH: DODAJ KOMENTARZ.
Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n–tą potęgę:(mnożymy a przez siebie tyle razy, ile wynosi n) Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia n z liczby a ≥ 0 nazywamy liczbę b ≥ 0 taką, że bn =a. W szczególności, dla dowolnej liczby a zachodzi równość: √a2 = |a| Jeżeli a 0 i b > 0 , to zachodzą równości: ar • a = ar + s (ar) = ar • s (a • b)r = ar • br Jeżeli wykładniki r, są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb a ≠ 0 i b ≠ 0. Źródło: Centralna Komisja Egzaminacyjna,
Temat: WZORY NA OBWODY I POLA . Ładowanie gry ANANAS ZA 5 POPRAWNYCH ODPOWIEDZI. 0 BŁĘDÓW: 0 POPRAWNYCH: DODAJ KOMENTARZ Potęgi i pierwiastki
Pierwiastki spędzają sen z powiek niejednemu uczniowi. Czy rzeczywiście pierwiastkowanie jest trudne? Niekoniecznie, pod warunkiem, że zapamiętamy jedną regułę: by obliczyć pierwiastek z danej liczby, musimy znaleźć liczbę, która podniesiona do potęgi drugiej, daje liczbę pod pierwiastkiem. Brzmi skomplikowanie? Sprawdźmy, jak to działa na przykładach. Zobacz film: "Wysokie oceny za wszelką cenę" spis treści 1. Pierwiastkowanie - co to jest? 2. Pierwiastki - ważne wzory 1. Pierwiastkowanie - co to jest? Pierwiastkowanie to odwrotne działanie do potęgowania. Aby zrozumieć, czym są pierwiastki, jak wygląda ich zapis i jak je obliczyć, zaczniemy od wyjaśnienia, co oznaczają poszczególne symbole i omówienia najważniejszych wzorów. Podstawowy wzór na pierwiastki to: Wzór na obliczenie pierwiastka Powyższy zapis odczytujemy: Pierwiastek n-tego stopnia z liczby a równa się b, gdy b do potęgi n-tej równe jest a". W tym zapisie: n – to stopień pierwiastka, a – liczba podpierwiastkowa, b – pierwiastek n-tego stopnia z liczby a, wynik pierwiastkowania. Zobacz także: Liczby całkowite - czyli jakie? Przykłady Pierwiastki możemy także określić dla liczb zespolonych. W matematyce wyższej pierwiastki zespolone z jedynki odgrywają bardzo istotną rolę. Pierwiastki z jedynki nazywamy także liczbami de Moivre’a dla uhonorowania francuskiego matematyka Abrahama de Moivre’a. Pierwiastki n-tego stopnia z jedności są na płaszczyźnie zespolonej wierzchołkami wielokąta foremnego o n bokach, które są wpisane w okrąd jednostkowy. Jego jeden wierzchołek leży w punkcie 1. Pierwiastki n stopnia z 1 na płaszczyźnie zespolonej (Wikipedia) Wierzchołki dzielą okąg na n równych części. Zobacz także: Średnia ważona - co to jest? 2. Pierwiastki - ważne wzory Obliczanie pierwiastka z danej liczby to dopiero początek. Poniżej przeanalizujmy inne istotne wzory związane z pierwiastkowaniem. Wzór na pierwiastek pierwiastka: Wzór na pierwiastek pierwiastka Z poniższego wynika, że a to liczba większa lub równa 0. Z kolei n i m są liczbami naturalnymi (z wyjątkiem liczb 0 i 1). Wzór na sumę pierwiastków: Wzór na sumę pierwiastków Zapis oznacza, że liczby a oraz b są większę lub równe 0. Zobacz także: Jak obliczyć funkcje trygonometryczne? Wzór na mnożenie pierwiastków: Wzór na mnożenie pierwiastków A oraz b to liczby, które są większe lub równe 0. Z kolei n oraz m to liczby naturalne z wyłączeniem liczb 0 i 1. Wzór na dzielenie pierwiastków: Wzór na dzielenie pierwiastków W powyższym zapisie: a jest liczbą większą lub równą 0. B to liczba większa od 0. N oraz m to liczby naturalne z wyłączeniem liczb 0 i 1. Wzór na potęgę pierwiastka: Wzór na potęgę pierwiastka Gdzie a jest liczbą większą lub równą 0. N i m to liczby naturalne z wyłączeniem liczb 0 i 1. Wzór na wartość bezwzględną pierwiastków: Wzór na wartość bezwzględną pierwiastków Oznacza to, że liczby a i b są większe bądź równe 0. Zobacz także: Jak obliczyć pierwiastek z liczby? polecamy
Dział Potęgi i pierwiastki. Skopiujcie i wklejcie w notatnik albo wiadomość Messenger albo komentarz braliby na wzor Przykład c nie jestem pewna czy dobrze

wykorzystanie wzorów na potęgi i pierwiastki - matematyka, matura MATERIAŁ MATURALNY > potęgi i pierwiastki WYKORZYSTANIE WZORÓW Matematyka – matura - potęgi: wzory na potęgi Wszystkie wzory na potęgi i pierwiastki zostały omówione w dziale „podstawy” (PODSTAWY – potęgi i pierwiastki (1) – wzory na potęgi i pierwiastki).W przedstawionych (w dziale PODSTAWY) zadaniach, nie była wymagana umiejętność przekształcania wyrażeń z potęgami w taki sposób, aby było możliwe wykorzystanie wzorów. Oczywiście ta umiejętność jest niezbędna na poziomie z przedstawionych wcześniej wzorów, to trzy pierwsze wzory na potęgi: Zakładają one, że w podanych potęgach mamy taką samą podstawę i do tego będziemy dążyć w wyrażeniach, gdzie w ich pierwotnej formie, nie jest możliwe zastosowanie żadnego wzoru. Przykład: W celu umożliwienia sobie zastosowania jakiegoś wzoru, przekształcimy poszczególne potęgi, aby otrzymać taką samą korzystać z czwartego wzoru na potęgi: W pierwszej kolejności należy przeanalizować przykład i sprawdzić, które z potęg mają podstawy posiadające wspólny dzielnik: Po ustaleniu wspólnego dzielnika, przekształcamy wszystkie potęgi tak, aby w podstawie miały wybrany przez nas dzielnik. Odbywa się to w dwóch krokach:I. Zapisujemy podstawy potęg jako potęgę wspólnego dzielnika (w przedstawionym przykładzie – 2): II. Wykorzystujemy czwarty wzór na potęgi: Po wykonaniu powyższych przekształceń możemy zastosować trzy pierwsze wzory na potęgi: Powyższe przekształcenie nie jest jedynym, jakie będziemy wykorzystywać, aby uzyskać tą samą podstawę. W zadaniach mogą pojawiać się pierwiastki oraz ułamki. Jak zamienić pierwiastek na potęgę przedstawiliśmy w poprzednim podrozdziale ( wykładnik wymierny). Przykład: Aby „pozbyć” się ułamków, wystarczy wykonać obracanie (ułamki dziesiętne należy zamienić na ułamki zwykłe), pamiętając o tym, że musimy zamienić znak potęgi. Przykład: Przedstawimy jeden „złożony” przykład, w którym będziemy musieli wykorzystać wszystkie trzy rodzaje W przypadku jakichkolwiek pytań zapraszamy na nasze forum :)

DTXx.
  • fzlrph25ef.pages.dev/171
  • fzlrph25ef.pages.dev/292
  • fzlrph25ef.pages.dev/216
  • fzlrph25ef.pages.dev/376
  • fzlrph25ef.pages.dev/291
  • fzlrph25ef.pages.dev/92
  • fzlrph25ef.pages.dev/105
  • fzlrph25ef.pages.dev/388
  • fzlrph25ef.pages.dev/174

    • wzory na potęgi i pierwiastki